Ha prímszámok legnagyobb közös osztóját keressük, akkor az csak 1 lehet. Például: (5; 7) = 1, (5; 7; 11) = 1. Azonban nemcsak prímszámoknak lehet a legnagyobb közös osztója 1. Sem 24, sem 25 nem prímszám, mégis (24; 25) = 1, vagy (25; 28; 243) = 1. Ha két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azokat relatív prímszámoknak nevezzük. A legnagyobb közös osztó, illetve a legkisebb közös többszörös megkeresésére gyakran van szükségünk. ) 2. példa: Keressük meg 120; 693; 2352 legkisebb közös többszörösét! (Nyilvánvaló, hogy a három szám szorzata közös többszörös, de mi a legkisebb közös többszöröst keressük. ) A számok prímtényezős felbontása segít. 120 = 2 3 · 3 · 5, 693 = 3 2 · 7 · 11, 2352 = 2 4 · 3 · 7 2. Primtenyezos felbontás? (11106043. kérdés). Feladat: Kifejezések LNKO-ja 5. példa: Keressük meg a;; kifejezések legnagyobb közös osztóját! Háló [ szerkesztés] Az egész számok részben rendezhetők az oszthatóságra. Ebben a rendezésben az a egész szám nagyobb lesz a b egész számnál, ha a osztható b -vel. Ez a rendezett halmaz hálóvá válik a legnagyobb közös osztó, mint metszet, és a legkisebb közös többszörös, mint egyesítés műveletére.
Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van a természetes számok között, maga a szám és az 1, prímszámoknak nevezzük. ℙ = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …} Prímtényezős felbontás Minden m pozitív egész szám egyértelműen, azaz egy és csak egyféleképpen felbontható prímszámok szorzatára: m = p 1 α 1 · p 2 α 2 ·... · p k α k p 1, p 2,..., p k ∈ ℙ α 1, α k,..., α k ∈ ℕ Példa: 60 | 2 30 | 5 6 | 2 3 | 3 1 | 60 = 2 2 · 3 · 5
Figyelt kérdés Ha egy negyzetszam osztható néggyel, akkor osztható 16-al is? Szerintem ez nem feltétlen igaz. Hiszen ha példának vesszük a 36-ot, akkor a primtenyezos felbontás: 2*2*3*3. Tehát mivel negyzetszam, kell lennie két azonos tényezőnek a szorzatban. Ez (2*3)*(2*3). Láthatjuk hogy osztható 4-el, de nem osztható 16-al. Jó a válaszom hogy nem mindig igaz az állítás? 1/4 anonim válasza: Az állítás hamis, a legegyszerűbb példa a 4. Ez egy négyzetszám (2*2), mégsem osztható 16-al. De a te levezetésed is tökéletes. 2021. ápr. 25. 14:01 Hasznos számodra ez a válasz? 2/4 anonim válasza: 4|4, de 16 nem osztója 4-nek. 14:10 Hasznos számodra ez a válasz? 3/4 anonim válasza: 100% Igen, jó a levezetésed. Legnagyobb Közös Osztó Legkisebb Közös Többszörös — Válaszolunk - 606 - Legnagyobb Közös Osztó, Legkisebb Közös Többszörös, Prímtényezős Felbontás. Azt viszont jegyezzük meg, hogy ez az állítás azért nem működött, mert a 4 négyzetszám. Mivel a 4 négyzetszám, ezért ha egy szám osztható vele, akkor abban automatikusan a 2^2 megvan, vagyis a szükséges feltétel teljesül. Általánosságban viszont az igaz, hogy ha egy négyzetszám osztható egy p prímmel, akkor szükségszerűen osztható p^2-tel is.
Most ezeket a betűs kifejezéseket tényezőkre bontjuk (szorzattá alakítjuk): 9 bc 3 + 18 c 3 y = 9 c 3 ( b + 2 y) = 3 2 c 3 ( b + 2 y), 24 abc 5 + 48 ac 5 y = 24 ac 5 ( b + 2 y) = 2 3 · 3 ac 5 ( b + 2 y), bc 2 x + 2 c 2 xy- 7 bc 2 - 14 c 2 y = c 2 [ bx + 2 xy- 7 b- 14 y] = = c 2 [ x ( b + 2 y) - 7( b + 2 y)] = = c 2 ( b + 2 y)( x- 7). Annak mintájára, amit a számok legnagyobb közös osztójának megkeresésénél láttunk, a tényezőkre bontott kifejezésekben keressük meg mindazokat a tényezőket, amelyek minden kifejezésben szerepelnek. A közös tényezők közül kiválasztjuk azokat, amelyeknek a kitevőjük a legkisebb, és ezeket összeszorozzuk. Prímtényezős felbontás kalkulátor. Ez a szorzat lesz a kifejezések legnagyobb közös osztója. Ha kicsi a tét a kedvem sötét
Tudjuk, hogy a szorzás eredménye nem változik, ha a tényezők sorrendjét felcseréljük. Ezért egy szám két prímtényezőre bontása ugyanazt a szorzatot jelenti.