A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból. E fejezetben közlünk elképzelhető megoldásokat a könyvben szereplő gyakorlatokra. A feladatok megoldásánál néha feltételezzük, hogy az Olvasó ismeri a naiv halmazelmélet fogalmait, egyszerűbb módszereit (tehát néha lehetnek kisebb "előreugrások" ama "aktuális" fejezethez képest, amelyben a feladatot kitűztük, ha gond van a feladattal, néha célszerűbb az aktuális után következtő 1-2 fejezetet is átböngészni). Alapfogalmak [ szerkesztés] 1. [ szerkesztés] Adjunk meg öt osztályt! megoldás: például {a}, {á}, {b}, {c}, {cs}, azaz a magyar ábécé első öt hangját tartalmazó osztályok; megoldás: Például az univerzális osztály, a minimálosztály, az üres osztály, az egyedek osztálya, meg a halmazok osztálya. megoldás: Például az Olvasóból álló osztály {O}, meg a Tankönyvíróból álló osztály {T}, valamint az az osztály, ami az előző kettő egyedet tartalmazza {O, T}; valamint az az osztály, ami az előző egy-egy egyedből álló egy-egy osztályt tartalmazza {{O}, {T}}; valamint az az osztály, ami az olvasóból álló osztályt tartalmazza {{O}}.... s. í. t. Matematikai értelemben az 1).
Mi a mértani helye azon pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen szakaszon úgy, hogy? 6. [ szerkesztés] Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen a kúp, a henger térfogata. Bizonyítsuk be, hogy. Keressük meg a legkisebb -t, amire, majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak. 7. [ szerkesztés] Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja illetve, magassága pedig. Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak. Számítsuk ki távolságát a száraktól. Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen pont? Megoldás
Azonban szigorú felépítésünkben Ü nem létezik, mert semmilyen axióma nem garantálja ezt. Az intenzionális definícióval adott sokaságok létezésére a részosztály-axióma vonatkozik, az azonban csak majoráns alakra hozható definíciók esetén garantálja a létezést. Ha viszont az osztály-nemegyenlőséget értjük, akkor ez az egyedekre is teljesül. Igen, ha x és y egyedek, ≠ pedig az osztályegyenlőség tagadásának jele, akkor érvényes x≠y. Tehát ez értelmezésben Ü, ha létezik, nem üres. Persze, mint fentebb mondtuk, nem létezik. Lásd még itt: Definiálható-e az "egyed" fogalma?. b). Az {x | x=x} definíció az összes egyedre és osztályra is teljesül, vagyis a "dolgok" sokasága! Ez a mi felépítésünkben nem létezik, semmiképp sem osztály, így aztán nem létezik. 8. [ szerkesztés] Tudjuk, hogy az osztályok osztálya nem létezhet, de mi a véleménye ennek valódi részéről, a valódi osztályok V:= {x | x∉E ∧ ∀y:(x∉y)} sokaságáról? Ez vajon osztály (azaz: létezik)? A V sokaság természetesen nem létezik az osztályelméletben.
Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)! Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem minden krétaira igaz, hogy minden mondata hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek legalább egy mondata igaz. Megjegyzés: Ez az ún. Epimenidész-paradoxon. A paradoxon (legalábbis Filep László véleménye szerint, amit nincs okunk kétségbe vonni) nem igazán logikai jellegű (logikai eszközökkel kibogozható, hogy semmilyen klasszikus formállogikai alapelvet nem sért), tulajdonképpen nem önellentmondás; hanem inkább ismeretelméleti. Furcsa, hogy Epimenidész állításából a krétaiak beszédének (ide értve Epimenidész fenti kijelentését is) mindenfajta tapasztalati ellenőrzése nélkül, pusztán a logikai elemzésre hagyatkozva "ki lehet mutatni" egy "igazmondó" krétai létezését.
Létezik-e ez az osztály? Segítség: (melyik közismert) halmaz-e ez az osztály? Legyen a neve Q, ekkor pl. Q:= {x∈ H | ¬∃y∈ H:(x∈y)}. De természetesen írható az is, hogy Q:= {x∈ H | ∀y∈ H:(x∉y)}. Persze Q üres, hiszen ha x halmaz, akkor mindig eleme a {x} halmaznak (egyelemű halmazt bármiből képezhetünk, csak valódi osztályból nem), tehát nincs olyan x halmaz, amely ne lenne eleme egy másik halmaznak, tehát Q-nak nincs eleme, ezért vagy egyed, vagy az üres osztály; de a feladat szerint osztály, nem lehet tehát egyed; ezért nem lehet más, csak az üres halmaz. Tehát Q halmaz, mégpedig az üres, és így persze létezik. 7. [ szerkesztés] a). Igaz-e, hogy az Ü:= {x | x≠x} definíció értelmes, létező osztályt ad meg, mégpedig az üres osztályt? b). Vajon az Ω:= {x | x=x} definíció létező osztályt ad meg? a). Mindenekelőtt azt kell tisztázni, mit értünk a ≠ jel alatt. Ha individuumegyenlőséget, akkor az a helyzet, hogy természetesen semmi sem nem-egyenlő önmagával. Az Ü osztálynak ezért nincs eleme, az valószínűleg az üres osztály.
és 3). pontok alatt leírt osztályok csak akkor léteznek, ha az a, á, b, c, cs hangok, meg az Olvasó és a Tankönyvíró eleme az E egyedek osztályának. De ezt nyugodtan feltehetjük. 2. [ szerkesztés] Vajon az "izgalmas mozifilmek" sokasága miért nem osztály? Sérti az egyértelmű meghatározottság axiómáját. Az "izgalmas" jelző köztudottan szubjektív, fuzzy tulajdonság; nem egyértelmű, mely filmekre igaz és melyekre nem. 3. [ szerkesztés] Tudjuk, hogy az osztályok = egyenlősége reflexív reláció: azaz tetszőleges A osztályra A=A. Lássuk be, hogy meg irreflexív reláció, azaz egyetlen osztály sem nem-egyenlő önmagával! Valóban, ha AA volna, az épp az ellenkezőjét jelentené (hogy ¬(A=A)) annak, ami az = reflexivitása miatt igaz, azaz annak, hogy A=A. 4. [ szerkesztés] Tranzitív-e (ha ab és bc, igaz-e mindig ac)? Nem. Például az a=0, b=1, c=a=0 esetben 01 és 10, mégsem igaz 00. 5. [ szerkesztés] Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen -: "A krétaiak mind örök hazugok és naplopók! "
Mutassuk meg, hogy minden -re az egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja? 6. [ szerkesztés] A és sík egymást a egyenesben metszi, és a síknak, a síknak olyan pontja, amely nincs rajta -n. Szerkesszük meg azt az húrtrapézt (), melynek csúcsa -n, csúcsa a síkban van, s amelybe kört írhatunk. Megoldás
A hirdetés csak egyes pénzügyi szolgáltatások főbb jellemzőit tartalmazza tájékoztató céllal, a részletes feltételeket és kondíciókat a bank mindenkor hatályos hirdetménye, illetve a bankkal megkötendő szerződés tartalmazza. A hirdetés nem minősül ajánlattételnek, a végleges törlesztő részlet, THM, hitelösszeg a hitelképesség függvényében változhat.
Összeválogattunk nektek húsz könnyen elkészíthető vagány kis jelmezt az ovis farsangra. Vannak köztük egészen egyszerűek és olyanok is, amelyekhez kell némi kézügyesség, de nem lehetetlen küldetés a teljesítésük. Az Anyamagazin legnagyobb fakezű újságírója mondja ezt nektek, aki helyett a férje varr, ha szakad a nadrág vagy a nyunyóka. 1. Fiús anyák rémálma (vagy legalábbis az enyém), amikor a gyermek bedobja, hogy tűzoltóautó, versenyautó vagy markoló akar lenni. Ne pánikoljatok! Mutatom a prototípust! Jelmez lap - Megbízható válaszok profiktól. 2. Kislányok szíve egyszerre dobban a világon, ha unikornist látnak. Naná, hogy annak is öltöznének, megértem őket. Egy színes lovat hoztam nektek mutatóba, amin csak egy mozdulat és ott a szarv is. Azt még én is tekerek, ha arról van szó. 3. A szivárvány legalább annyira menő mint az unikornis. Ezt nézzétek! Azok az úszássegítő pufik tuti akciósak most a dekás boltban, vattát meg olcsón kapni a gyógyszertárban, ilyen színes szoknyája meg ugyan melyik csajszinak nincs a szekrényében? 4.
A keresés nem eredményezett találatot. Ennek az alábbi okai lehetnek: • elírtad a keresőszót - ellenőrizd a megadott kifejezést, mert a kereső csak olyan termékekre keres, amiben pontosan megtalálható(ak) az általad beírt kifejezés(ek); • a termék megnevezésében nem szerepel a keresőszó - próbáld meg kategória-szűkítéssel megkeresni a kívánt terméktípust; • túl sok keresési paramétert adtál meg - csökkentsd a szűrési feltételek számát; • a keresett termékből egy sincs jelenleg feltöltve a piactérre; • esetleg keress rá hasonló termékre.